Soal Induksi Matematika

Soal Induksi Matematika - Ini adalah salah satu hal yang wajib kamu tahu dimana admin blog soal kunci jawaban menyampaikan Soal Induksi Matematika kepada teman-teman semua yang saat ini mencari Soal Induksi Matematika, dengan ini maka kamu akan tahu selengkapnya pembahasan Soal Induksi Matematika tersebut. Sehingga para sahabat bisa mengerti dan memahami Soal Induksi Matematika yang kami posting untuk anda semua disini.

Tentunya ini akan menjadi pelajaran yang sangat berharga sekali untuk anda dan admin juga karena mempelajari Soal Induksi Matematika tersebut. Oya di blog Soal dan Kunci Jawaban memberikan banyak sekali Bank Soal sehingga memudahkan teman-teman mempelajari Soal-Soal yang keluar di mata pelajaran saat ini.

Dengan itu semua kami berbagi secara langsung Soal Induksi Matematika tersebut dibawah ini, tinggal anda copy paste soal yang kami bagi ini, atau juga anda bisa download untuk Soal Induksi Matematika tersebut.

Sehingga ini akan menjadi menyenangkan kalau kita selalu belajar Soal Induksi Matematika dan kamu bisa Soal Induksi Matematika ini sehingga dipastikan juga teman2 akan bisa mendapatkan Nilai Bagus untuk Soal Induksi Matematika ini. Ini akan menjadi Bocoran Soal Induksi Matematika yang harus kamu pelajari saat ini.

Selamat belajar dan jangan lupa juga selalu berdoa duluh sebelum belajar ya supaya otak bisa encer dan mampu menyerap semua Soal Induksi Matematika yang kami bagikan dibawah ini selengkapnya ok.

Prinsip Induksi Matematika
Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

1. P(1) benar, dan
2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

---

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)
Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.
Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
Soal 1: Pendahuluan
Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

1. P(k): S_k = [k²(k + 1)²]/4
2. P(k): S_k = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
3. P(k): k + 3 < 5k²
4. P(k): 3^k ≥ 2k + 1

Pembahasan

1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
   
2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
   
3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
   
4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
   

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa S_{k + 1} = S_k + a_{k + 1}, di mana a_{k + 1} adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.
Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
   
2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
   
   bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus S_{k + 1} = (k + 1)² benar.
   

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

1. Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan
   
   dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
   
   Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan langkah induksi.

Setelah membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

---

Rangkuman berikut ini memberikan rumus-rumus untuk jumlah pangkat dari n bilangan bulat positif pertama. Rumus-rumus ini sangat penting dalam kalkulus. Rumus 1 telah kita buktikan dalam Contoh 2. Rumus-rumus yang lain juga dapat dibuktikan dengan mengunakan induksi matematika.

Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n.
Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3.

1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan
   
   yang bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
   
   Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan
   
   Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi.

Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Soal 5: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n.
Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2² + 3 ∙ 2³ + … + n ∙ 2ⁿ = 2[1 + (n – 1)2ⁿ]

1. Pertama kita buktikan bahwa P(1) benar. Pernyataan ini menyatakan
   
   yang dengan jelas bernilai benar.
2. Selanjutnya, kita anggap bahwa P(k) bernilai benar dan menghasilkan hipotesis induksi sebagai berikut.
   
   Hipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1). Pernyataan P(k + 1) mengatakan
   
   Kita mulai dari ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk yang berada di ruas kanan.
   
   Sehingga pada Langkah 2 ini kita telah membuktikan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 6: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa 4n < 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.
Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2ⁿ.

1. P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < 2⁵, atau 20 < 32, yang bernilai benar.
2. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan
   
   Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi.

Setelah kita membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.
Soal 7: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.
Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan (n + 1)² < 2n².

1. Pernyataan P(3), yaitu
   
   dengan jelas bernilai benar.
2. Anggap P(k): (k + 1)² < 2k² bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar, yaitu [(k+1) + 1]² < 2(k + 1)². Untuk k ≥3, kita memperoleh
   
   Sehingga kita telah menunjukkan kebenaran pernyataan jika P(k) benar maka P(k + 1). Oleh karena itu, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.

Soal 8: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa n! > 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.
Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan n! > 2ⁿ.

1. Pertama kita harus menunjukkan bahwa P(4) benar. Padahal P(4) menyatakan bahwa
   
   Karena 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 2⁴ = 16, maka P(4) benar.
2. Kita anggap bahwa P(k): k! > 2^k benar. Kita akan tunjukkan P(k + 1): (k + 1)! > 2^{k + 1} juga bernilai benar.
   
   Sehingga pada langkah induksi ini kita dapat melihat bahwa kebenaran P(k) mengakibatkan P(k + 1). Jadi, dari Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4.

Soal 9: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2.
Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi dari pernyataan 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n > √n.

1. Kita tunjukkan bahwa P(2) benar, yaitu
   
   Karena 1/√1 + 1/√2 ≈ 1,707 dan √2 ≈ 1,414 maka P(2) bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar maka kita memperoleh hipotesis induksi seperti berikut.
   
   Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan menggunakan hipotesis tersebut. P(k + 1) menyatakan bahwa
   
   Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita ubah bentuk ruas kiri di atas menjadi bentuk yang ada di ruas kanan. Untuk k ≥ 2,
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 2.

Soal 10: Membuktikan Faktor
Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4ⁿ – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena
   
   Sehingga, 3 adalah faktor bentuk di atas.
2. Anggap bahwa 3 adalah faktor dari 4^k – 1, kita harus menunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari 4^{k + 1} – 1. Untuk melakukan hal ini, kita tulis seperti berikut.
   
   Karena 3 adalah faktor dari 4^k ∙ 3 dan 3 juga merupakan faktor 4^k – 1, maka 3 adalah faktor dari 4^{k + 1} – 1. Dengan menggabungkan hasil pada Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa 3 adalah faktor 4ⁿ – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.

 Soal 11: Membuktikan Suatu Faktorisasi
Buktikan bahwa x – y adalah faktor dari xⁿ – yⁿ untuk semua bilangan bulat positif n. [Petunjuk: x^{k + 1} – y^{k + 1} = x^k(x – y) + (x^k – y^k)y.]
Pembahasan

1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena
   
   Sehingga x – y adalah faktor dari bentuk di atas.
2. Anggap bahwa x – y merupakan faktor dari x^k – y^k untuk sebarang bilangan bulat positif k. Kita harus menunjukkan bahwa x – y merupakan faktor dari x^{k + 1} – y^{k + 1}. Perhatikan bahwa
   
   Karena x – y faktor dari x – y dan x^k – y^k (berdasarkan hipotesis induksi), maka kita dapat menyimpulkan bahwa x – y merupakan faktor dari x^{k + 1} – y^{k + 1}. Jadi, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa x – y adalah faktor dari xⁿ – yⁿ untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 12: Membuktikan Faktor
Buktikan bahwa salah satu faktor dari (n³ + 3n² +2n) adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1, bentuk di atas menjadi
   
   Sehingga benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk tersebut.
2. Anggap bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif k, 3 merupakan salah satu faktor dari (k³ + 3k² +2k). Kita harus menunjukkan bahwa 3 juga merupakan faktor dari (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Pertama kita tulis (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1) seperti berikut.
   
   Karena 3 merupakan faktor dari k³ + 3k² + 2k dan 3(k² + 3k + 2), maka 3 merupakan faktor dari (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari (n + 1)³ + 3(n + 1)² + 2(n + 1) untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 13: Membuktikan Faktor
Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, salah satu faktor dari 2^{2n + 1} + 1 adalah 3.
Pembahasan

1. Untuk n = 1 bentuk di atas menjadi
   
   Sehingga, benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari 9.
2. Kita anggap bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif k, Salah satu faktor 2^{2k + 1} + 1 adalah 3. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor 2^{2(k + 1) + 1} + 1.
   
   Karena 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk-bentuk 3 ∙ 2^{2k + 1} dan 2^{2k + 1} + 1 maka 3 adalah faktor dari 2^{2(k + 1) + 1} + 1. Jadi kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa salah satu faktor dari 2^{2n + 1} + 1 adalah 3.

 Menemukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan
Untuk menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan, perhatikan petunjuk berikut.

1. Hitung beberapa suku pertama dari barisan yang diberikan. Biasanya sangat membantu jika kita menulis suku-suku tersebut ke dalam bentuk sederhana dan bentuk faktor.
2. Cobalah untuk menemukan pola dari suku-suku yang telah kita hitung dan tulis rumus suku ke-n barisan tersebut. Rumus ini merupakan hipotesis atau konjektur kita. Mungkin kita perlu mencoba untuk menghitung satu atau dua suku selanjutnya dalam barisan tersebut untuk menguji hipotesis kita.

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan hipotesis yang kita dapatkan.

---

Soal 14: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.

Pembahasan Kita mulai dengan menuliskan beberapa penjumlahan pertama.

Dari barisan ini, tampak bahwa rumus penjumlahan k suku pertama adalah

Untuk membuktikan kebenaran hipotesis ini, kita gunakan induksi matematika. Perhatikan bahwa kita telah menguji rumus ini untuk n = 1, sehingga kita mulai dengan menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk n = k dan mencoba untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Jadi, berdasarkan induksi matematika hipotesis tersebut benar.
Soal 15: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.

Pembahasan Kita tulis beberapa penjumlahan pertama sebagai berikut.

Berdasarkan pola di atas, kita dapat melihat bahwa rumus jumlah k suku pertama adalah

Kita gunakan induksi matematika untuk membuktikan konjektur tersebut. Karena kita sudah menunjukkan kebenaran rumus tersebut untuk n = 1, kita mulai pembuktian ini dengan menganggap bahwa rumus ini benar untuk n = k, dan mencoba untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Jadi, berdasarkan induksi matematika konjektur kita tersebut benar.
Soal 16: Membuktikan Keterbagian
Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1,
   
   yang sangat jelas habis dibagi 4.
2. Kita anggap 5^k – 1 habis dibagi 4 untuk sebarang bilangan bulat positif k. Akan kita tunjukkan 5^{k + 1} – 1 juga habis dibagi 4.
   
   Karena 4 ∙ 5^k dan 5^k – 1 habis dibagi 4 maka 5^{k + 1} – 1 habis dibagi 4. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 17: Bilangan Ganjil
Buktikan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1,
   
   merupakan bilangan ganjil.
2. Kita anggap untuk sebarang bilangan bulat positif k, k² – k + 41 merupakan bilangan ganjil. Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa (k + 1)² – (k + 1) + 41 adalah bilangan ganjil.
   
   Karena k² – k + 41 adalah bilangan ganjil dan 2k adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut, yaitu (k + 1)² – (k + 1) + 41 merupakan bilangan ganjil. Jadi, dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat meyimpulkan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 18: Membuktikan Keterbagian
Buktikan bahwa 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat positif n.
Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan “ 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8.”

1. Pertama kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena
   
   yang habis dibagi 8, maka P(1) terbukti benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita menyatakan bahwa 3^2k – 1 habis dibagi 8. Selanjutnya kita akan tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.
   
   Karena 8 ∙ 3^2k dan 3^2k – 1 habis dibagi 8 maka 3^{2(k + 1)} – 1 habis dibagi 8. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 32n – 1 habis dibagi dengan 8 untuk semua bilangan bulat positif n.

 Prinsip Induksi Matematika Kuat
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

1. P(a), P(a + 1), …, dan P(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar)
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, P(n) benar. (Asumsi bahwa P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa P(a), P(a + 1), …, P(k) semuanya bernilai benar.)

---

Pada contoh berikutnya kita akan mencoba untuk membuktikan suatu teorema keterbagian oleh bilangan prima. Teorema ini menyatakan bahwa semua bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
Soal 19: Keterbagian oleh Bilangan Prima
Buktikan bahwa sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan: “Untuk semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.”

1. Pertama, kita tunjukkan bahwa P(2) bernilai benar. Karena 2 habis dibagi 2 dan 2 adalah bilangan prima, maka P(2): “2 habis dibagi oleh suatu bilangan prima” bernilai benar.
2. Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 2 dan kita anggap bahwa i habis dibagi oleh suatu bilangan prima untuk semua bilangan bulat i mulai dari 2 sampai k. Kita harus tunjukkan bahwa k + 1 juga habis dibagi bilangan prima.
   Kasus 1 (k + 1 adalah bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima, yaitu bilangan itu sendiri.
   Kasus 2 (k + 1 bukan bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 = ab di mana a dan b adalah bilangan bulat dengan 1 < a < k + 1 dan 1 < b < k + 1. Sehingga, dengan kata lain, 2 ≤ a ≤ k, dan berdasarkan hipotesis induksi, a habis dibagi oleh suatu bilangan prima p. Dan karena k + 1 = ab, maka k + 1 habis dibagi a. Oleh karena itu, karena k + 1 habis dibagi a dan a habis dibagi p, maka dengan keterbagian transitif, k + 1 habis dibagi oleh bilangan prima p.
   Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Soal 20: Membuktikan Sifat Barisan dengan Induksi Matematika Kuat
Suatu barisan s₀, s₁, s₂, … didefinisikan sebagai berikut:

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2.
Diduga bahwa untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0, suku ke-n barisan ini memiliki nilai sama dengan 5ⁿ – 1. Dengan kata lain, dugaan ini menyatakan bahwa semua suku barisan tersebut memenuhi persamaan s_n = 5ⁿ – 1. Buktikan bahwa dugaan ini benar.
Pembahasan Misalkan s₀, s₁, s₂, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai s₀ = 0, s₁ = 4, dan s_k = 6a_{k – 1} – 5a_{k – 2} untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, dan misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Kita akan menggunakan induksi matematika kuat untuk membuktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n ≥ 0, P(n) bernilai benar.

1. Untuk membuktikan bahwa P(0) dan P(1) benar, kita harus menunjukkan bahwa
   
   Akan tetapi, sesuai definisi barisan s₀, s₁, s₂, …, kita memiliki s₀ = 0 dan s₁ = 4. Karena 5⁰ – 1 = 1 – 1 = 0 dan 5¹ – 1 = 4, nilai-nilai s₀ dan s₁ sama dengan nilai-nilai yang diberikan oleh rumus yang diberikan.
2. Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 1 dan anggap bahwa s_i = 5ⁱ – 1 untuk semua bilangan bulat i dengan 0 ≤ i ≤ k. Kita harus menunjukkan bahwa
   
   Akan tetapi karena k ≥ 1, kita peroleh bahwa k + 1 ≥ 2, sehingga
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(i) dalam langkah induksi. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 21: Membuktikan Sifat Barisan
Misalkan a₁, a₂, a₃, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan bahwa a_n adalah bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan bahwa a_n adalah bilangan ganjil. Kita akan membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) dan P(2) benar. Karena menurut definisi barisan a₁, a₂, a₃, … nilai a₁ = 1 dan a₂ = 3 yang keduanya merupakan bilangan ganjil, maka P(1) dan P(2) benar.
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) bernilai benar untuk 1 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah bahwa a_i merupakan bilangan ganjil. Kita akan menggunakan ini untuk menunjukkan bahwa P(k +1) benar, yaitu a_{k + 1} juga merupakan bilangan ganjil. Perhatikan bahwa
   
   Menurut hipotesis induksi, a_{k – 1} dan a_k merupakan bilangan ganjil. Padahal 2a_k merupakan bilangan genap. Hasilnya, penjumlahan bilangan ganjil dan bilangan genap, a_{k – 1} + 2a_k, adalah suatu bilangan ganjil. Sehingga P(k + 1) bernilai benar. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Soal 22: Membuktikan Sifat Barisan
Misalkan b₀, b₁, b₂, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2. Buktikan bahwa b_n = 3 ∙ 2ⁿ + 2 ∙ 5ⁿ untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

1. Pertama, akan kita tunjukkan bahwa P(0) dan P(1) benar, yaitu
   
   Sesuai definisi, b₀ = 5 dan b₁ = 16. Sedangkan 3 ∙ 2⁰ + 2 ∙ 5⁰ = 3 + 2 = 5 dan 3 ∙ 2¹ + 2 ∙ 5¹ = 6 + 10 = 16. Sehingga nilai-nilai b0 dan b1 sama dengan nilai-nilai yang diperoleh dari rumus yang diberikan. Oleh karena itu, P(0) dan P(1) benar.
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 1, misalkan P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   untuk semua bilangan bulat 0 ≤ i ≤ k. Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Karena k ≥ 1 maka k + 1 ≥ 2, dan kita dapat menuliskan
   Sehingga kita telah membuktikan bahwa jika P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kuat, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 23: Membuktikan Sifat Barisan
Misalkan c₀, c₁, c₂, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan c_n ≤ 3ⁿ untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Pembahasan Misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

1. Pertama kita akan tunjukkan bahwa P(0), P(1), dan P(3) benar. Sesuai definisi barisan tersebut, c₀ = 1, c₁ = 2, dan c₂ = 3, kita dapat melihat bahwa c₀, c₁, dan c₂ secara berturut-turut kurang dari sama dengan 3⁰ = 1, 3¹ = 3, 3² = 9. Sehingga P(0), P(1), dan P(2) bernilai benar.
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   untuk 0 ≤ i ≤ k. Dengan menggunakan hipotesis ini kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Untuk k ≥ 2 yang mengakibatkan k + 1 ≥ 3, kita memperoleh
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2 kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

 Soal 24: Induksi Matematika Kuat
Suatu permainan memiliki aturan bahwa dua pemain dalam permainan tersebut secara bergiliran mengambil sejumlah batang korek api yang dia mau dari satu dari dua bungkus korek api. Pemain yang berhasil mengambil batang korek api terakhir ditetapkan sebagai pemenang permainan ini. Tunjukkan bahwa jika dua bungkus korek api tersebut memuat batang korek api dengan jumlah yang sama, pemain kedua selalu dapat menjadi pemenang dalam permainan ini.

Pembahasan Misalkan n adalah banyaknya batang korek api dalam masing-masing bungkus. Kita akan gunakan induksi matematika untuk membuktikan P(n), yang menyatakan bahwa pemain kedua dapat memenangkan permainan jika mula-mula terdapat n batang korek api dalam masing-masing bungkus.

1. Ketika n = 1, pemain pertama hanya memiliki satu pilihan, yaitu mengambil satu batang korek api dari salah satu bungkus, dan meninggalkan satu bungkus dengan satu batang korek api, yang dapat diambil oleh pemain kedua untuk memenangkan pertandingan.
2. Hipotesis induksi kita adalah pernyataan P(i) benar untuk semua i dengan 1 ≤ i ≤ k, yaitu anggapan bahwa pemain kedua dapat selalu menang jika terdapat i batang korek, di mana 1 ≤ i ≤ k, dalam masing-masing bungkus korek api. Kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu bahwa pemain kedua dapat memenangkan permainan ketika mula-mula terdapat k + 1 batang korek api dalam masing-masing bungkus, yang berdasarkan anggapan bahwa P(i) benar untuk i = 1, 2, 3, …, k. Sehingga misalkan terdapat k + 1 batang korek api di dalam masing-masing bungkus pada awal permainan dan misalkan pemain pertama mengambil sejumlah r batang korek api (1 ≤ r ≤ k) dari salah satu bungkus, dan menyisakan k + 1 – r batang korek api dalam bungkus tersebut. Dengan mengambil batang korek api dengan jumlah yang sama dari bungkus yang lain, pemain kedua membuat keadaan di mana terdapat dua bungkus yang masing-masing memiliki k + 1 – r batang korek api. Karena 1 ≤ k + 1 – r ≤ k, sekarang kita dapat menggunakan hipotesis induksi untuk menyimpulkan bahwa pemain kedua selalu dapat memenangkan permainan. Dan jika pemain pertama mengambil sejumlah k + 1 batang korek api dari satu bungkus, pemain kedua dapat memenangkan permainan dengan mengambil semua sisa batang korek api dalam bungkus lainnya.

Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika kuat bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Soal 25: Induksi Matematika Kuat
Buktikan bahwa bea pos sejumlah Rp 12.000,00 atau lebih dapat dibentuk dengan menggunakan perangko seharga Rp 4.000,00 dan perangko seharga Rp 5.000,00.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa bea pos dengan harga n ribu rupiah dapat dibentuk dengan menggunakan perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00.

1. Kita dapat membentuk bea pos sejumlah Rp 12.000,00, Rp 13.000,00, Rp 14.000,00 dan Rp 15.000,00 secara berturut-turut dengan menggunakan tiga perangko seharga Rp 4.000,00, dua perangko seharga Rp 4.000,00 dan satu perangko seharga Rp 5.000,00, satu perangko seharga Rp 4.000,00 dan dua perangko seharga Rp 5.000,00, dan tiga perangko seharga Rp 5.000,00. Hal ini menunjukkan bahwa P(12), P(13), P(14), dan P(15) benar.
2. Hipotesis induksi kita adalah bahwa pernyataan P(i) benar untuk 12 ≤ i ≤ k, di mana k adalah bilangan bulat dengan k ≥ 15. Dengan kata lain kita dapat membentuk bea pos sejumlah i ribu rupiah, di mana 12 ≤ i ≤ k. Kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu bahwa kita dapat membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah. Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita dapat menganggap bahwa P(k – 3) benar karena k – 3 ≥ 12, yaitu kita dapat membentuk bea pos sejumlah k – 3 ribu rupiah dengan menggunakan perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00. Untuk membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah, kita hanya perlu untuk menambah perangko seharga Rp 4.000,00 lainnya kepada bea pos yang berharga k – 3 ribu rupiah tersebut. Sehingga, kita telah menunjukkan bahwa jika hipotesis induksi kita benar maka P(k + 1) juga benar.

Karena kita telah melakukan Langkah 1 dan 2 pada induksi matematika kuat, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 12.

sumber: https://yos3prens.wordpress.com

LIHAT JUGA SOAL LAINNYA :

Anda sedang membaca Artikel tentang Soal Induksi Matematika dan anda bisa menemukan Artikel Soal Induksi Matematika ini dengan URL https://kuncijawaban4.blogspot.com/2017/03/soal-induksi-matematika.html, Terimakasih Telah membaca Artikel Soal Induksi Matematika Anda boleh menyebar Luaskan atau MengCopy-Paste nya jika Artikel Soal Induksi Matematika ini sangat bermanfaat bagi anda, Namun jangan lupa untuk meletakkan Link Soal Induksi Matematika sebagai Sumbernya.